Der erste Satz, den Pugh beweist, nachdem er das Riemann-Integral definiert hat, lautet, dass Integrierbarkeit Beschränktheit impliziert. Dies ist Satz 15 auf Seite 155 in meiner Ausgabe. Dies zeigt, dass man sich zunächst auf Definitionen einigen muss.
Ist die Riemann-Integrierbarkeit beschränkt?
Satz 4. Jede Riemann-integrierbare Funktion ist beschränkt.
Sind unbeschränkte Funktionen integrierbar?
Eine unbeschränkte Funktion ist nicht Riemann-integrierbar. Im Folgenden bedeutet "integrierbar" "Riemann-integrierbar" und "Integral" bedeutet "Riemann-Integral", sofern nicht ausdrücklich anders angegeben. f(x)={ 1/x if 0 < x ≤ 1, 0 if x=0. also sind die oberen Riemann-Summen von f nicht wohldefiniert.
Ist eine Lebesgue-integrierbare Funktion beschränkt?
Beschränkte messbare Funktionen sind äquivalent zu integrierbaren Lebesgue-Funktionen. Wenn f eine beschränkte Funktion ist, die auf einer messbaren Menge E mit endlichem Maß definiert ist. Dann ist f genau dann messbar, wenn f Lebesgue-integrierbar ist. … Dagegen sind messbare Funktionen „fast“stetig.
Woher weißt du, ob eine Funktion nach Lebesgue integrierbar ist?
Wenn f, g Funktionen sind mit f=g fast überall, dann ist f genau dann Lebesgue-integrierbar, wenn g Lebesgue-integrierbar ist, und die Integrale von f und g sind es das gleiche, wenn sie existieren.