Im Allgemeinen bedeutet punktweise Konvergenz keine Konvergenz im Maß. Für einen Raum mit endlichen Maßen gilt dies jedoch, und wir werden in diesem Abschnitt tatsächlich sehen, dass noch viel mehr zutrifft.
Bedeutet Konvergenz fast überall Konvergenz im Maß?
Der fragliche Maßraum ist immer endlich, weil Wahrscheinlichkeitsmaße dem gesamten Raum die Wahrscheinlichkeit 1 zuordnen. In einem endlichen Maßraum bedeutet Konvergenz fast überall Konvergenz im Maß. Daher impliziert fast Konvergenz Konvergenz in Wahrscheinlichkeit.
Impliziert punktweise Konvergenz Stetigkeit?
Obwohl jedes fn auf [0, 1] stetig ist, ist es ihre punktweise Grenze f nicht (sie ist unstetig bei 1). Daher bewahrt punktweise Konvergenz im Allgemeinen nicht die Kontinuität.
Impliziert Konvergenz in L1 punktweise Konvergenz?
Punktweise Konvergenz, gleichmäßige Konvergenz und L1-Konvergenz implizieren sich also nicht gegenseitig. Wir haben jedoch ein paar positive Ergebnisse: Theorem 7 Wenn fn → f in L1, dann gibt es eine Teilfolge fnk mit fnk → f punktweise a.e.
Was ist Konvergenz in der Maßtheorie?
In der Mathematik, genauer gesagt in der Maßtheorie, gibt es verschiedene Vorstellungen von der Konvergenz von Maßen. Für eine intuitive allgemeine Vorstellung davon, was mit Maßkonvergenz gemeint ist, betrachte eine Folge von Maßen μ auf einem Leerzeichen, die eine gemeinsame Sammlung teilenvon messbaren Sätzen.