Metrische Raumvollständigkeit wird nicht durch Homöomorphie erh alten.
Was bewahrt die Homöomorphie?
Ein Homöomorphismus, auch kontinuierliche Transformation genannt, ist eine Äquivalenzbeziehung und eine Eins-zu-Eins-Korrespondenz zwischen Punkten in zwei geometrischen Figuren oder topologischen Räumen, die in beide Richtungen kontinuierlich ist. Ein Homöomorphismus, der auch Abstände erhält, heißt Isometrie.
Erhält ein Homöomorphismus die Kompaktheit?
3.3 Eigenschaften kompakter Räume
Wir haben bereits erwähnt, dass Kompaktheit eine topologische Eigenschaft eines Raums ist, das heißt, sie wird durch einen Homöomorphismus bewahrt. Darüber hinaus wird es von jeder auf stetigen Funktion bewahrt.
Ist Vollständigkeit eine topologische Eigenschaft?
Vollständigkeit ist keine topologische Eigenschaft, d.h. man kann nicht schließen, ob ein metrischer Raum vollständig ist, indem man einfach den zugrunde liegenden topologischen Raum betrachtet.
Warum ist Beschränktheit keine topologische Eigenschaft?
Für metrische Räume haben wir einen Begriff der Beschränktheit: Das heißt, ein metrischer Raum ist beschränkt, wenn es eine reelle Zahl M gibt, so dass d(x, y) ≤ M für alle x, y. Begrenztheit ist keine topologische Eigenschaft. Zum Beispiel sind (0, 1) und (1, ∞) homöomorph, aber eins ist beschränkt und eins nicht. ∞ n=1 ist eine Folge von Punkten in X.