Ein isolierter Punkt ist geschlossen (keine Begrenzungspunkte enth alten). Eine endliche Vereinigung abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen. Also ist jede endliche Menge abgeschlossen. (vi) Eine offene Menge, die jede rationale Zahl enthält, muss notwendigerweise ganz aus R bestehen.
Können abgeschlossene Mengen isolierte Punkte haben?
Kann eine abgeschlossene Menge eine haben? Eine offene Menge U kann keinen isolierten Punkt haben, denn wenn x ∈ U und δ > 0, dann enthält (x − δ, x + δ) ein Intervall und somit unendlich viele Punkte von U. Andererseits gilt für jedes x, {x} ist eine abgeschlossene Menge, die einen isolierten Punkt hat, nämlich x selbst.
Sind einzelne Punkte geschlossen?
Und in jedem metrischen Raum ist die Menge, die aus einem einzigen Punkt besteht, geschlossen, da es keine Grenzpunkte einer solchen Menge gibt!
Sind isolierte Punkte Grenzpunkte?
Ein Punkt p ist ein Grenzpunkt von S, wenn jede Umgebung von p einen Punkt q ∈ S enthält, wobei q=p. Ist p ∈ S kein Grenzpunkt von S, so heißt er isolierter Punkt von S. S ist abgeschlossen, wenn jeder Grenzpunkt von S ein Punkt von S ist.
Ist ein isolierter Punkt kontinuierlich?
Eine Funktion ist an jedem isolierten Punkt stetig.
