Sei P eine Sylow-p-Untergruppe von G. … Wenn G einfach ist, dann hat es 10 Untergruppen der Ordnung 3 und 6 Untergruppen der Ordnung 5. Da diese Gruppen jedoch alle zyklisch sind von Primzahlordnung, jedes nicht-triviale Element von G ist in höchstens einer dieser Gruppen enth alten.
Sind P-Gruppen zyklisch?
Die triviale Gruppe ist die einzige Gruppe der Ordnung eins, und die zyklische Gruppe C p ist die einzige Gruppe der Ordnung p.
Sind Untergruppen zyklisch?
Satz: Alle Untergruppen einer einer zyklischen Gruppe sind zyklisch. Wenn G=⟨a⟩ zyklisch ist, dann für jeden Teiler d von |G| es gibt genau eine Untergruppe der Ordnung d, die durch a|G|/d a | erzeugt werden kann G | / d. Beweis: Sei |G|=dn | G |=d n.
Sind P-Sylow-Untergruppen normal?
Wenn G genau eine Sylow-p-Untergruppe hat, muss sie normal sein von Unique Subgroup of a Given Order is Normal. Angenommen, eine Sylow-p-Untergruppe P ist normal. Dann ist es gleich seinen Konjugaten. Daher kann es nach dem dritten Satz von Sylow nur eine solche p-Untergruppe von Sylow geben.
Sind sylow P-Untergruppen abelsch?
Wir beweisen, dass Sylow-p-Untergruppen einer endlichen Gruppe G genau dann abelsch sind, wenn die Klassengrößen der p-Elemente von G alle teilerfremd zu p sind, und, falls p ∈ { 3, 5 }, ist der Grad jedes irreduziblen Zeichens im p-Hauptblock von G teilerfremd zu p.