In der Mathematik wird eine Teilmenge eines topologischen Raums nirgendwo dicht oder selten genannt, wenn ihr Abschluss ein leeres Inneres hat. In einem sehr lockeren Sinne ist es eine Menge, deren Elemente nirgendwo eng geclustert sind. Zum Beispiel sind die ganzen Zahlen nirgendwo dicht unter den reellen Zahlen, während eine offene Kugel dies nicht ist.
Ist 1 N nirgends dicht?
Ein Beispiel für eine Menge, die nicht abgeschlossen ist, aber dennoch nirgendwo dicht ist, ist {1n|
∈N}. Es hat einen Grenzpunkt, der nicht in der Menge ist (nämlich 0), aber sein Abschluss ist immer noch nirgendwo dicht, weil keine offenen Intervalle in {1n|n∈N}∪{0} passen.
Wie beweisen Sie, dass eine Menge nirgendwo dicht ist?
Eine Teilmenge A ⊆ X heißt nirgendwo dicht in X, falls das Innere des Abschlusses von A leer ist, d.h. (A)◦=∅. Anders ausgedrückt ist A nirgends dicht genau dann, wenn es in einer abgeschlossenen Menge mit leerem Inneren enth alten ist. Wenn wir zu Komplementen übergehen, können wir äquivalent sagen, dass A nirgendwo dicht ist, wenn sein Komplement eine dichte offene Menge enthält (warum?).
Was bedeutet überall dicht?
Eine Teilmenge A eines topologischen Raums X ist dicht, für die der Abschluss der gesamte Raum X ist (einige Autoren verwenden die Terminologie überall dicht). Eine gebräuchliche alternative Definition ist: eine Menge A, die jede nichtleere offene Teilmenge von X schneidet.
Ist jede dichte Menge offen?
Ein topologischer Raum X ist genau dann hyperzusammenhängend, wenn jede nichtleere offene Menge dicht in X liegt. Ein topologischer Raum ist genau dann submaximaljede dichte Teilmenge ist offen.
